16.5 : Теорема Парсеваля

Теорема Парсеваля — это фундаментальная концепция в обработке сигналов и гармоническом анализе. Она утверждает, что для периодической функции средняя мощность сигнала за один период равна сумме квадратов величин всех ее комплексных коэффициентов Фурье. Эта теорема, названная в честь Марка-Антуана Парсеваля, предоставляет мощный инструмент для анализа распределения энергии в сигналах.

Интересно, что теорема Парсеваля справедлива и для тригонометрической формы ряда Фурье, которая выражает функцию через функции синуса и косинуса. Здесь коэффициенты Фурье можно связать с коэффициентами тригонометрического ряда, что позволяет применять теорему в этой альтернативной форме.

Для проверки теоремы Парсеваля мы начнем с рассмотрения функции x(t) с комплексным представлением ряда Фурье:

Где c_n — комплексные коэффициенты Фурье, а ω_0 — основная угловая частота. Теорема гласит:

где T — период функции. Подстановка ряда Фурье в левую часть и решение подтверждают равенство, тем самым доказывая теорему.

Теорема Парсеваля имеет решающее значение в практических приложениях, особенно в обработке звука. Она позволяет сравнивать энергию, содержащуюся в исходной звуковой волне, с энергией в ее сжатой версии. Это сравнение необходимо для того, чтобы процесс сжатия не ухудшал качество аудиосигнала существенно, теряя слишком много энергии.

С инженерной точки зрения теорема Парсеваля дает ценные идеи. Например, если рассматриваемая функция представляет электрический сигнал, такой как ток или напряжение, то квадрат этой функции представляет мгновенную мощность, рассеиваемую в резисторе сопротивлением 1 Ом. Следовательно, теорема связывает энергию, рассеиваемую в резисторе за один период, с представлением сигнала в виде ряда Фурье. Эта связь выражается в двух различных формах: одна с использованием тригонометрического ряда Фурье, а другая с использованием амплитудно-фазовой формы ряда Фурье. Таким образом, теорема Парсеваля не только служит мощным аналитическим инструментом, но и связывает теоретические концепции с практическими инженерными приложениями.