16.5 : Parsevals Theorem

Parsevals Theorem ist ein grundlegendes Konzept in der Signalverarbeitung und Oberwellenanalyse. Es besagt, dass bei einer periodischen Funktion die durchschnittliche Leistung des Signals über eine Periode gleich der Summe der quadrierten Beträge aller seiner komplexen Fourierkoeffizienten ist. Dieses Theorem, benannt nach Marc-Antoine Parseval, bietet ein leistungsstarkes Werkzeug zur Analyse der Energieverteilung in Signalen.

Interessanterweise gilt Parsevals Theorem auch für die trigonometrische Form der Fourierreihe, die eine Funktion in Form von Sinus- und Kosinusfunktionen ausdrückt. Hier können die Fourierkoeffizienten mit den Koeffizienten der trigonometrischen Reihe in Beziehung gesetzt werden, wodurch das Theorem in dieser alternativen Form angewendet werden kann.

Um Parsevals Theorem zu überprüfen, betrachten wir zunächst eine Funktion x(t) mit einer komplexen Fourierreihendarstellung:

Wobei c_n die komplexen Fourierkoeffizienten und ω_0 die Grundwinkelfrequenz sind. Das Theorem lautet:

Wobei T die Periode der Funktion ist. Das Einsetzen der Fourierreihe in die linke Seite und Lösen bestätigt die Gleichheit und beweist damit das Theorem.

Parsevals Theorem ist in praktischen Anwendungen von entscheidender Bedeutung, insbesondere in der Audioverarbeitung. Es ermöglicht den Vergleich der in einer ursprünglichen Schallwelle enthaltenen Energie mit der in ihrer komprimierten Version. Dieser Vergleich ist wichtig, um sicherzustellen, dass der Komprimierungsprozess die Qualität des Audiosignals nicht durch zu großen Energieverlust erheblich verschlechtert.

Aus technischer Sicht bietet Parsevals Theorem wertvolle Erkenntnisse. Wenn die betreffende Funktion beispielsweise ein elektrisches Signal wie Strom oder Spannung darstellt, dann stellt das Quadrat dieser Funktion die momentane Verlustleistung in einem 1-Ohm-Widerstand dar. Folglich verknüpft der Satz die im Widerstand über eine Periode verbrauchte Energie mit der Fourierdarstellung des Signals. Diese Beziehung wird in zwei verschiedenen Formen ausgedrückt: eine verwendet die trigonometrische Fourierreihe und die andere die Amplituden-Phasen-Form der Fourierreihe. Somit dient Parsevals Satz nicht nur als leistungsstarkes Analysewerkzeug, sondern verbindet auch theoretische Konzepte mit praktischen technischen Anwendungen.