משפט פרסבל הוא עקרון בסיסי בעיבוד אותות וניתוח הרמוני. הוא קובע שעבור פונקציה מחזורית, ההספק הממוצע של האות על פני מחזור אחד שווה לסכום ריבועי המשרעות של כל המקדמים המרוכבים בסדרת פורייה שלו. משפט זה, הנקרא על שם מארק-אנטואן פרסבל, מספק כלי רב עוצמה לניתוח התפלגות האנרגיה באותות.

מעניין לציין, שמשפט פרסבל תקף גם לצורת הטריגונומטרית של טור פורייה, המבטאת פונקציה במונחים של פונקציות סינוס וקוסינוס. כאן, מקדמי פורייה יכולים להיות קשורים למקדמי הסדרה הטריגונומטרית, מה שמאפשר ליישם את המשפט גם בצורה חלופית זו.

כדי להוכיח את משפט פרסבל, נתחיל בהתבוננות בפונקציה x(t) עם ייצוג טור פורייה מרוכב:

כאשר c_n הם מקדמי פורייה המרוכבים, ו- ω_0 הוא התדר הזוויתי הבסיסי. המשפט קובע:

כאשר T הוא המחזור של הפונקציה. הצבת טור פורייה באגף השמאלי של המשוואה ופתרון האינטגרל מאשר את השוויון ומוכיח את המשפט.

משפט פרסבל חיוני ביישומים מעשיים, במיוחד בעיבוד אודיו. הוא מאפשר השוואה בין האנרגיה הכלולה בגל הקול המקורי לבין זו שבגרסה הדחוסה שלו. השוואה זו הכרחית כדי להבטיח שתהליך הדחיסה אינו פוגע באופן משמעותי באיכות אות האודיו על ידי איבוד יתר של אנרגיה.

מנקודת מבט הנדסית, משפט פרסבל מספק תובנות חשובות. לדוגמה, אם הפונקציה המדוברת מייצגת אות חשמלי כמו זרם או מתח, ריבוע הפונקציה מייצג את ההספק המיידי המנוצל בנגד של 1 אוהם. כתוצאה מכך, המשפט קושר בין האנרגיה המנוצלת בנגד לאורך מחזור אחד לייצוג טור פורייה של האות. קשר זה בא לידי ביטוי בשתי צורות שונות: אחת באמצעות טור פורייה הטריגונומטרי והשנייה באמצעות הצורה של משרעת-פאזה של טור פורייה. לכן, משפט פרסבל לא רק משמש ככלי ניתוח רב עוצמה, אלא גם מחבר בין מושגים תיאורטיים ליישומים הנדסיים מעשיים.