Il teorema di Parseval è un concetto fondamentale nell'elaborazione del segnale e nell'analisi armonica. Afferma che per una funzione periodica, la potenza media del segnale su un periodo è uguale alla somma delle grandezze al quadrato di tutti i suoi coefficienti di Fourier complessi. Questo teorema, che prende il nome da Marc-Antoine Parseval, fornisce un potente strumento per analizzare la distribuzione di energia nei segnali.

È interessante notare che il teorema di Parseval vale anche per la forma trigonometrica della serie di Fourier, che esprime una funzione in termini di funzioni seno e coseno. In questo caso, i coefficienti di Fourier possono essere correlati ai coefficienti della serie trigonometrica, consentendo di applicare il teorema in questa forma alternativa.

Per convalidare il teorema di Parseval, si inizia considerando una funzione x(t) con una rappresentazione in serie di Fourier complessa:

Dove c_n sono i coefficienti di Fourier complessi e ω_0 è la frequenza angolare fondamentale. Il teorema afferma:

Dove T è il periodo della funzione. Sostituendo la serie di Fourier nel lato sinistro e risolvendola si conferma l'uguaglianza, dimostrando così il teorema.

Il teorema di Parseval è fondamentale nelle applicazioni pratiche, in particolare nell'elaborazione audio. Consente di confrontare l'energia contenuta in un'onda sonora originale con quella nella sua versione compressa. Questo confronto è essenziale per garantire che il processo di compressione non degradi significativamente la qualità del segnale audio perdendo troppa energia.

Da una prospettiva ingegneristica, il teorema di Parseval offre spunti preziosi. Ad esempio, se la funzione in questione rappresenta un segnale elettrico come la corrente o la tensione, allora il quadrato di questa funzione rappresenta la potenza istantanea dissipata in un resistore da 1 ohm. Di conseguenza, il teorema collega l'energia dissipata nel resistore in un periodo alla rappresentazione in serie di Fourier del segnale. Questa relazione è espressa in due forme diverse: una usa la serie di Fourier trigonometrica e l'altra usa la forma ampiezza-fase della serie di Fourier. Pertanto, il teorema di Parseval non solo funge da potente strumento analitico, ma collega anche i concetti teorici con delle applicazioni pratiche di ingegneria.