23.5 : Allgemeiner Spannungszustand

Der allgemeine Spannungszustand innerhalb eines Materials kann mithilfe eines Spannungstensors genau dargestellt werden. Dieser Tensor fasst die inneren Kräfte zusammen, die in einem Material verteilt sind, das äußeren Kräften oder Verformungen ausgesetzt ist.

Betrachten wir ein tetraedrisches Element, bei dem eine Fläche mit der Bezeichnung XYZ senkrecht zur Linie OA steht und die übrigen Flächen an den Koordinatenachsen mit Punkt O als Ursprung ausgerichtet sind. An jedem Punkt, beispielsweise Punkt O, kann der Spannungstensor verwendet werden, um die Spannungskomponenten auf jeder Ebene durch O zu bestimmen. Dieser Tensor ist entscheidend für das Verständnis, wie Materialien unter verschiedenen Belastungsbedingungen reagieren, indem er Kräfte in Normal- und Scherkomponenten auf den Flächen des Tetraeders auflöst.

Die Flächen der an Koordinaten ausgerichteten Flächen des Tetraeders werden berechnet, indem die Fläche der Fläche XYZ mit den Richtungskosinus λ_x, λ_y und λ_z der Linie OA multipliziert wird. Diese Kosinuswerte verbinden die Ausrichtung der Fläche mit den Koordinatenachsen und unterstützen so die Kraftauflösung, die für das Material- und Strukturdesign von entscheidender Bedeutung ist. Die Gleichgewichtsbedingung, dass die Summe aller Kräfte entlang OA gleich Null ist, führt zur Normalspannungsgleichung, ausgedrückt in quadratischer Form mit Richtungskosinus.

Diese Form identifiziert die Hauptspannungsachsen. Wenn ein neues Koordinatensystem basierend auf den Richtungskosinus definiert wird, entfallen die Scherspannungsterme, wodurch der Spannungstensor vereinfacht wird. Diese Achsen definieren die Hauptebenen, in denen die Scherspannungen verschwinden und die Normalspannungen, sogenannte Hauptspannungen, maximiert werden. Das Verständnis dieser Spannungskomponenten ist für die Vorhersage von Materialversagensarten und die Verbesserung des Strukturdesigns von entscheidender Bedeutung.