14.2 : Impulsantwort

Die Impulsantwort ist die Reaktion des Systems auf einen Eingangsimpuls. In einem RC-Schaltkreis ist die Spannungsquelle der Eingang und die Spannung des Kondensators der Ausgang. Der Zustand und die Ausgangsreaktion des Systems vor und nach der Eingangsanregung sind eindeutig definiert.

Das Kirchhoffsche Gesetz bildet eine Eingangssignalgleichung, wobei Strom und Spannung des Kondensators den Ausgang liefern. Durch Ersetzen des Stroms und Teilen durch RC erhält man eine Differentialgleichung. Der Ausgang für einen Impulseingang ist die Impulsantwort.

Die Zeitkonstante τ=RC wird eingeführt und die Differentialgleichung wird mit dem Integrationsfaktor e^(t/RC). multipliziert. Durch Vereinfachen unter Verwendung der Abtasteigenschaft der Impulsfunktion und Integrieren innerhalb der Systemgrenzen ergibt sich:

Diese Gleichung enthält eine Sprungfunktion und eine Dummy-Integrationsvariable τ. Das Lösen dieser Gleichung ergibt die Impulsantwort des RC-Schaltkreises. Die Grafik der Impulsantwort zeigt einen sofortigen Sprung der Kondensatorspannung bei t=0, was die theoretische Natur eines reinen Eingangsimpulses unterstreicht, da dieser in praktischen Szenarien nicht realisierbar ist.

Das Verständnis der Impulsantwort ist entscheidend für die Analyse und Vorhersage des Verhaltens linearer Systeme. Wenn man die Antwort auf einen Impuls kennt, kann die Antwort auf jeden beliebigen Eingang durch Faltung bestimmt werden. Dieses Prinzip ist grundlegend für die Signalverarbeitung und den Entwurf von Steuerungssystemen, wo die Impulsantwort wichtige Einblicke in die Systemdynamik liefert.