La risposta all'impulso è la reazione del sistema ad un impulso di input. In un circuito RC, la sorgente di tensione è l'input mentre la tensione del condensatore è l'output. Lo stato del sistema e la risposta di output prima e dopo l'eccitazione di input sono definiti in modo distinto.

La legge di Kirchhoff forma un'equazione del segnale di input, con la corrente e la tensione del condensatore che forniscono l'output. Sostituendo la corrente e dividendo per RC si ottiene un'equazione differenziale. L'output per un input di impulso è la risposta all'impulso.

Viene introdotta la costante di tempo τ=RC e l'equazione differenziale viene moltiplicata per il fattore di integrazione e^(t/RC). Semplificando grazie alla proprietà di campionamento della funzione impulso e integrando entro i limiti del sistema si ottiene:

Questa equazione include una funzione a gradini e una variabile di integrazione fittizia τ, risolvendola si ottiene la risposta impulsiva del circuito RC. Il grafico della risposta impulsiva mostra un salto istantaneo nella tensione del condensatore a t=0, evidenziando la natura teorica di un impulso di input puro, in quanto non realizzabile in scenari pratici.

Comprendere la risposta impulsiva è fondamentale per analizzare e prevedere il comportamento dei sistemi lineari. Conoscendo la risposta ad un impulso, la risposta a qualsiasi input arbitrario può essere determinata tramite la convoluzione. Questo principio è fondamentale nell'elaborazione del segnale e nella progettazione del sistema di controllo, dove la risposta impulsiva fornisce informazioni essenziali sulla dinamica del sistema.