16.7 : Diskrete Fourier-Reihen

Die Diskrete Fourier-Reihe (DTFS) ist ein grundlegendes Konzept in der Signalverarbeitung und dient als diskretes Gegenstück zur kontinuierlichen Fourier-Reihe. Sie ermöglicht die Darstellung und Analyse von diskreten periodischen Signalen anhand ihrer Frequenzkomponenten. Im Gegensatz zu ihrem kontinuierlichen Gegenstück, das Integrale verwendet, beinhaltet die Berechnung der DTFS-Erweiterungskoeffizienten Summierungen aufgrund der diskreten Natur des Signals.

Für ein diskretes periodisches Signal x[n] mit Periode N_0 werden die DTFS-Koeffizienten X[k] mit der folgenden Formel berechnet:

Wobei k=0,1,2,…,N_0 -1. Diese Koeffizienten X[k] stellen das Signal im Frequenzbereich dar und erfassen die Amplitude und Phase jeder Frequenzkomponente.

Um die Reaktion eines linearen zeitinvarianten (LTI) Systems auf ein zeitdiskretes periodisches Signal zu bestimmen, wird ein systematischer Ansatz verfolgt:

1. Berechnen Sie die DTFS des Eingangssignals: Berechnen Sie die DTFS-Koeffizienten X[k] für das Eingangssignal x[n].
2. Berechnen Sie die Ausgangsantwort für jeden DTFS-Term: Verwenden Sie die Frequenzantwort des Systems H(e^(jΩ)), um die Ausgabe für jede Frequenzkomponente zu bestimmen. Die Ausgangs-DTFS-Koeffizienten Y[k] ergeben sich aus

   

   wobei Ω = 2πk/N

3. Summieren Sie die Antworten: Summieren Sie abschließend die Beiträge aller DTFS-Terme, um das gesamte Ausgangssignal im Zeitbereich zu erhalten.

Bei zeitkontinuierlichen Signalen wird die Periodizität in Bezug auf eine Periode T definiert, die Kreis- und Winkelfrequenzen entspricht. Bei einem zeitdiskreten Signal ist die Periodizität mit einer Grundwinkelfrequenz Ω_k = 2πk/N_0 verbunden, wobei N_0 die Periode des diskreten Signals ist. Die DTFS-Erweiterung ist endlich und besteht aus N-Termen, im Gegensatz zu den unendlichen Reihen in zeitkontinuierlichen Fourier-Reihen.

DTFS spielt eine entscheidende Rolle bei der digitalen Signalverarbeitung (DSP), insbesondere bei der Analyse und Handhabung periodischer Signale, die aus abgetasteten Daten abgeleitet werden. Es ist von entscheidender Bedeutung für Aufgaben wie das Identifizieren bestimmter Frequenzen in Audiosignalen, das Verbessern oder Unterdrücken bestimmter Frequenzkomponenten und das Herausfiltern unerwünschter Geräusche. Durch die Umwandlung von Signalen in den Frequenzbereich erleichtert DTFS eine effiziente Signalanalyse und -verarbeitung und ermöglicht eine verbesserte Leistung in verschiedenen Anwendungen wie Telekommunikation, Audiotechnik und Steuerungssystemen.