Ayrık Zamanlı Fourier Serisi (DTFS), sinyal işlemede temel bir kavramdır ve sürekli zamanlı Fourier serisinin ayrık zamanlı karşılığı olarak çalışır. Ayrık zamanlı periyodik sinyallerin frekans bileşenleri cinsinden gösterilmesine ve analiz edilmesine olanak tanır. İntegralleri kullanan sürekli karşılığının aksine, DTFS genişleme katsayılarının hesaplanması, sinyalin ayrık doğası nedeniyle toplamaları içerir.

N_0 periyoduna sahip ayrık zamanlı periyodik bir x[n] sinyali çin, X[k] DTFS katsayıları şu formül kullanılarak hesaplanır:

Burada k=0,1,2,…,N_0-1. Bu X[k] katsayıları, her bir frekans bileşeninin genliğini ve fazını yakalayarak frekans domainindeki sinyali temsil eder.

Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen (LTI) bir sistemin ayrık zamanlı periyodik bir sinyale tepkisini belirlemek için sistematik bir yaklaşım izlenir:

1. Giriş Sinyalinin DTFS'sini Hesaplayın: Giriş sinyali x[n] için DTFS katsayılarını X[k] hesaplayın.
2. Her DTFS Terimi için Çıkış Tepkisini Hesaplayın: Her frekans bileşeni için çıktıyı belirlemek üzere sistemin frekans tepkisi olan H(e^jΩ)’yi kullanın. DTFS çıkış katsayıları olan Y[k] aşağıdaki şekilde verilir:

   

   burada Ω = 2τk/N
3. Yanıtları Toplayın: Son olarak, zaman alanındaki toplam çıkış sinyalini elde etmek için tüm DTFS terimlerinin katkılarını toplayın.

Sürekli zamanlı sinyallerde, periyodiklik dairesel ve açısal frekanslara karşılık gelen bir T periyodu ile tanımlanır. Ayrık zamanlı bir sinyal için, periyodiklik temel bir açısal frekans ile ilişkilidir; Ω_k =2τk/N_0 , burada N_0 ayrık sinyalin periyodudur. DTFS genişlemesi sonludur ve N terimden oluşur, sürekli zamanlı Fourier serisindeki sonsuz seriyle tezat oluşturur.

DTFS, özellikle örneklenmiş verilerden türetilen periyodik sinyalleri analiz etme ve düzenlemede dijital sinyal işlemede (DSP) önemli bir rol oynar. Ses sinyalleri içindeki belirli frekansları tanımlama, belirli frekans bileşenlerini geliştirme veya bastırma ve istenmeyen gürültüyü filtreleme gibi görevlerde etkilidir. DTFS, sinyalleri frekans domaine dönüştürerek verimli sinyal analizi ve işlemeyi kolaylaştırır; telekomünikasyon, ses mühendisliği ve kontrol sistemleri gibi çeşitli uygulamalarda gelişmiş performans sağlar.