16.7 : Série de Fourier de Tempo Discreto

A Série de Fourier em Tempo Discreto (DTFS) é um conceito fundamental no processamento de sinais, servindo como a contraparte em tempo discreto para a série de Fourier em tempo contínuo. Ela permite a representação e análise de sinais periódicos em tempo discreto em termos de seus componentes de frequência. Ao contrário de sua contraparte contínua, que utiliza integrais, o cálculo dos coeficientes de expansão DTFS envolve somas devido à natureza discreta do sinal.

Para um sinal periódico em tempo discreto x[n] com período N_0, os coeficientes DTFS X[k] são calculados usando a fórmula:

Onde k=0,1,2,…,N_0−1. Esses coeficientes X[k] representam o sinal no domínio da frequência, capturando a amplitude e a fase de cada componente da frequência.

Para determinar a resposta de um sistema Linear Invariante no Tempo (LTI) a um sinal periódico de tempo discreto, uma abordagem sistemática é seguida:

1. Calcule o DTFS do Sinal de Entrada: Calcule os coeficientes DTFS X[k] para o sinal de entrada x[n]
2. Calcule a Resposta de Saída para Cada Termo DTFS: Use a resposta de frequência do sistema H(e^jΩ) para determinar a saída para cada componente de frequência. Os coeficientes DTFS de saída Y[k] são dados por
   
   onde Ω =2πk/N
3. Some as Respostas: Finalmente, some as contribuições de todos os termos DTFS para obter o sinal de saída total no domínio do tempo.

Em sinais de tempo contínuo, a periodicidade é definida em relação a um período T, correspondendo a frequências circulares e angulares. Para um sinal de tempo discreto, a periodicidade está associada a uma frequência angular fundamental Ω_k = 2πk/N_0, onde N_0 é o período do sinal discreto. A expansão DTFS é finita, consistindo de N termos, contrastando com a série infinita em séries de Fourier de tempo contínuo.

O DTFS desempenha um papel crucial no processamento de sinais digitais (DSP), particularmente na análise e manipulação de sinais periódicos derivados de dados amostrados. É fundamental em tarefas como identificar frequências específicas em sinais de áudio, aprimorar ou suprimir certos componentes de frequência e filtrar ruídos indesejados. Ao transformar sinais no domínio de frequência, o DTFS facilita a análise e o processamento eficientes de sinais, permitindo melhor desempenho em várias aplicações, como telecomunicações, engenharia de áudio e sistemas de controle.