Dyskretny szereg Fouriera (DTFS) to koncepcja przetwarzania sygnałów, będąca dyskretnym odpowiednikiem szeregu Fouriera. Umożliwia ona reprezentację i analizę dyskretnych sygnałów w odniesieniu do ich składowych częstotliwości. W przeciwieństwie do ciągłego odpowiednika, który wykorzystuje całki, obliczanie współczynników rozszerzenia DTFS obejmuje sumowanie ze względu na dyskretną naturę sygnału.

W przypadku dyskretnego sygnału okresowego x[n] o okresie N_0 współczynniki DTFS X[k] są obliczane przy użyciu wzoru:

Gdzie k=0,1,2,…,N_0−1. Te współczynniki X[k] reprezentują sygnał w dziedzinie częstotliwości, rejestrując amplitudę i fazę każdej składowej częstotliwości.

Aby określić odpowiedź liniowego układu niezmienniczego w czasie (LTI) na dyskretny sygnał okresowy, stosuje się podejście systematyczne:

1. Oblicz DTFS sygnału wejściowego: oblicz współczynniki DTFS X[k] dla sygnału wejściowego x[n].
2. Oblicz odpowiedź wyjściową dla każdego członu DTFS: użyj odpowiedzi częstotliwościowej układu H(e^jΩ), aby określić wyjście dla każdej składowej częstotliwości. Współczynniki DTFS wyjściowe Y[k] są podane przez

   

   gdzie Ω =2πk/N

3. Zsumuj odpowiedzi: Na koniec zsumuj wkłady wszystkich członków DTFS, aby uzyskać całkowity sygnał wyjściowy w dziedzinie czasu.

W sygnałach ciągłych okresowość jest definiowana względem okresu T, odpowiadającego częstotliwościom kołowym i kątowym. W przypadku sygnału dyskretnego okresowość jest związana z podstawową częstotliwością kątową Ω_k = 2πk/N_0 , gdzie N_0 jest okresem sygnału dyskretnego. Rozszerzenie DTFS jest skończone i składa się z wyrazów N, w przeciwieństwie do nieskończonego szeregu w ciągłym szeregu Fouriera.

DTFS odgrywa kluczową rolę w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów (DSP), w szczególności w analizie i manipulowaniu sygnałami okresowymi pochodzącymi z próbkowanych danych. Jest on pomocny w takich zadaniach, jak identyfikacja określonych częstotliwości w sygnałach audio, wzmacnianie lub tłumienie określonych składowych częstotliwości i filtrowanie niepożądanego szumu. Poprzez transformację sygnałów do dziedziny częstotliwości, DTFS ułatwia analizę i przetwarzanie sygnału, umożliwiając poprawę wydajności w różnych zastosowaniach, takich jak telekomunikacja, systemy dzwiękowe i systemy sterowania.