La transformation de Fourier à temps discret (TFtd) est un concept fondamental du traitement du signal, servant de contrepartie à temps discret à la transformation de Fourier à temps continu. Elle permet la représentation et l'analyse de signaux périodiques à temps discret en termes de leurs composantes de fréquence. Contrairement à son homologue continu, qui utilise des intégrales, le calcul des coefficients d'expansion de la série de Fourier implique des sommations en raison de la nature discrète du signal.

Pour un signal périodique à temps discret x[n] avec une période N_0, les coefficients TFtd X[k] sont calculés à l'aide de la formule :

Où k=0,1,2,…,N_0−1. Ces coefficients X[k] représentent le signal dans le domaine fréquentiel, capturant l'amplitude et la phase de chaque composante de fréquence.

Pour déterminer la réponse d'un système linéaire invariant dans le temps (LTI) à un signal périodique à temps discret, une approche systématique est suivie :

1. Calculer la TFtd du signal d'entrée : calculer les coefficients TFtd X[k] pour le signal d'entrée x[n].
2. Calculer la réponse de sortie pour chaque terme TFtd: utiliser la réponse en fréquence H(e^(jΩ)) du système pour déterminer la sortie pour chaque composante de fréquence. Les coefficients TFtd de sortie Y[k] sont donnés par :

   

   où Ω = 2πk/N

3. Additionner les réponses : enfin, additionner les contributions de tous les termes TFtd pour obtenir le signal de sortie total dans le domaine temporel.

Dans les signaux à temps continu, la périodicité est définie par rapport à une période T, correspondant aux fréquences circulaires et angulaires. Pour un signal à temps discret, la périodicité est associée à une fréquence angulaire fondamentale Ω_k = 2πk/N_0, où N_0 est la période du signal discret. Le développement TFtd est fini, composé de N termes, contrairement à la série infinie des séries de Fourier à temps continu.

La TFtd joue un rôle crucial dans le traitement numérique du signal, en particulier dans l'analyse et la manipulation de signaux périodiques dérivés de données échantillonnées. Elle joue un rôle essentiel dans des tâches telles que l'identification de fréquences spécifiques dans les signaux audio, l'amélioration ou la suppression de certaines composantes de fréquence et le filtrage des bruits indésirables. En transformant les signaux dans le domaine fréquentiel, la TFtd facilite l'analyse et le traitement efficaces des signaux, ce qui permet ainsi d'améliorer les performances dans diverses applications telles que les télécommunications, l'ingénierie audio et les systèmes de contrôle.