La serie di Fourier a tempo discreto (DTFS) è un concetto fondamentale nell'elaborazione del segnale, che fa da controparte a tempo discreto della serie di Fourier a tempo continuo. Consente la rappresentazione e l'analisi dei segnali periodici a tempo discreto in termini di componenti di frequenza. A differenza della controparte continua, che usa gli integrali, il calcolo dei coefficienti di espansione DTFS comporta sommatorie dovute alla natura discreta del segnale.

Per un segnale periodico a tempo discreto x[n] con un periodo N_0, i coefficienti DTFS X[k] vengono calcolati utilizzando la formula:

Dove k=0,1,2,…,N_0−1. Questi coefficienti X[k] rappresentano il segnale nel dominio della frequenza, catturando l'ampiezza e la fase di ciascuna componente di frequenza.

Per determinare la risposta di un sistema lineare tempo-invariante (LTI) a un segnale periodico a tempo discreto, si segue un approccio sistematico:

1. Calcolare il DTFS del segnale di ingresso: si calcolano i coefficienti DTFS X[k] per il segnale di ingresso X[n].
2. Calcolare la risposta di uscita per ogni termine DTFS: prendere la risposta in frequenza del sistema H(e^(jΩ)) per determinare l'uscita per ogni componente di frequenza. I coefficienti DTFS di uscita Y[k] sono dati da:


dove Ω = 2πk/N

3. Sommare le risposte: infine, bisogna sommare i contributi di tutti i termini DTFS per ottenere il segnale di uscita totale nel dominio del tempo.

Nei segnali a tempo continuo, la periodicità è definita rispetto a un periodo T, corrispondente a frequenze circolari e angolari. Per un segnale a tempo discreto, la periodicità è associata ad una frequenza angolare fondamentale Ω_k = 2πk/N_0, dove N_0 è il periodo del segnale discreto. L'espansione DTFS è finita, costituita da termini N, in contrasto con la serie infinita nelle serie di Fourier a tempo continuo.

DTFS svolge un ruolo cruciale nell'elaborazione del segnale digitale (DSP), in particolare nell'analisi e nella manipolazione di segnali periodici derivati da dati campionati. È fondamentale nelle attività come l'identificazione di frequenze specifiche all'interno dei segnali audio, il potenziamento o la soppressione di determinati componenti di frequenza e il filtraggio del rumore indesiderato. Trasformando i segnali nel dominio della frequenza, la DTFS facilita l'analisi e l'elaborazione efficienti del segnale, consentendo prestazioni migliorate in varie applicazioni come le telecomunicazioni, l’ingegneria audio e i sistemi di controllo.