이산 시간 푸리에 급수(DTFS)는 신호 처리의 기본 개념으로, 연속 시간 푸리에 급수의 이산 시간 대응물 역할을 합니다. 이산 시간 주기 신호를 주파수 성분으로 표현하고 분석할 수 있습니다. 적분을 활용하는 연속 대응물과 달리 DTFS 확장 계수 계산에는 신호의 이산적 특성으로 인한 합산이 포함됩니다.
주기가 N_0인 이산 시간 주기 신호 x[n]의 경우 DTFS 계수 X[k]는 다음 공식을 사용하여 계산합니다.
여기서 k=0,1,2,…,N_0−1입니다. 이러한 계수 X[k]는 주파수 영역의 신호를 나타내며 각 주파수 성분의 진폭과 위상을 포착합니다.
선형 시불변(LTI) 시스템의 이산-시간 주기 신호에 대한 응답을 결정하기 위해 체계적인 접근 방식을 따릅니다.
- 입력 신호의 DTFS 계산: 입력 신호 x[n]에 대한 DTFS 계수 X[k]를 계산합니다.
- 각 DTFS 항에 대한 출력 응답 계산: 시스템의 주파수 응답 H(e^ jΩ)를 사용하여 각 주파수 구성 요소에 대한 출력을 결정합니다. 출력 DTFS 계수 Y[k]는 다음과 같이 주어집니다.
여기서 Ω =2πk/N
- 응답 합산: 마지막으로 모든 DTFS 항의 기여도를 합산하여 시간 영역에서 총 출력 신호를 얻습니다.
연속 시간 신호에서 주기는 원형 및 각 주파수에 해당하는 주기 T에 대해 정의됩니다. 이산 시간 신호의 경우 주기는 기본 각 주파수 Ω_k = 2πk/N_0와 연관되며, 여기서 N_0은 이산 신호의 주기입니다. DTFS 확장은 유한하며 N 항으로 구성되며 연속 시간 푸리에 급수의 무한 급수와 대조됩니다.
DTFS는 디지털 신호 처리(DSP)에서 중요한 역할을 하며, 특히 샘플링된 데이터에서 파생된 주기 신호를 분석하고 조작하는 데 중요합니다. 오디오 신호 내의 특정 주파수를 식별하고, 특정 주파수 구성 요소를 강화하거나 억제하고, 원치 않는 노이즈를 필터링하는 것과 같은 작업에 유용합니다. DTFS는 신호를 주파수 영역으로 변환하여 효율적인 신호 분석 및 처리를 용이하게 하여 통신, 오디오 엔지니어링, 제어 시스템과 같은 다양한 응용 분야에서 성능을 개선할 수 있습니다.
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