16.7 : Дискретно-временной ряд Фурье

Дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ) — это фундаментальное понятие в обработке сигналов, выступающее в качестве дискретного аналога непрерывного ряда Фурье. Он позволяет представлять и анализировать дискретные периодические сигналы с точки зрения их частотных компонентов. В отличие от своего непрерывного аналога, который использует интегралы, расчет коэффициентов разложения ДВРФ включает суммирование из-за дискретной природы сигнала.

Для дискретного периодического сигнала x[n] с периодом N_0 коэффициенты ДВРФ X[k] вычисляются по формуле:

Где k=0,1,2,…,N_0−1. Эти коэффициенты X[k] представляют сигнал в частотной области, фиксируя амплитуду и фазу каждого частотного компонента.

Чтобы определить реакцию линейной системы, инвариантной по времени (LTI), на дискретный периодический сигнал, применяется систематический подход:

1. Вычислите ДВРФ входного сигнала: вычислите коэффициенты ДВРФ X[k] для входного сигнала x[n].
2. Вычислите выходной отклик для каждого члена ДВРФ: используйте частотную характеристику системы H(e^jΩ) для определения выходного сигнала для каждого частотного компонента. Выходные коэффициенты ДВРФ Y[k] задаются как

   

   где Ω = 2πk/N

3. Суммируйте отклики: наконец, суммируйте вклады всех членов ДВРФ, чтобы получить общий выходной сигнал во временной области.

В непрерывных сигналах периодичность определяется относительно периода T, соответствующего круговым и угловым частотам. Для дискретного сигнала периодичность связана с фундаментальной угловой частотой Ω_k = 2πk/N_0 , где N_0 — период дискретного сигнала. Расширение ДВРФ конечно, состоит из N членов, в отличие от бесконечного ряда в непрерывном ряду Фурье.

ДВРФ играет важную роль в цифровой обработке сигналов (DSP), особенно в анализе и манипулировании периодическими сигналами, полученными из выборочных данных. Он играет важную роль в таких задачах, как определение определенных частот в аудиосигналах, усиление или подавление определенных частотных компонентов и фильтрация нежелательных шумов. Преобразуя сигналы в частотную область, ДВРФ облегчает эффективный анализ и обработку сигналов, обеспечивая повышение производительности в различных приложениях, таких как телекоммуникации, аудиотехника и системы управления.