17.9 : התמרת פורייה בדידית (DFT)

התמרת פורייה בדידית (DFT) היא כלי יסודי בעיבוד אותות, שמרחיבה את התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT) על ידי הערכת אותות בדידים במרווחי תדר אחידים. טרנספורמציה זו ממירה רצף סופי של דגימות במרחב הזמן לרכיבי תדר, שכל אחד מהם מייצג סינוסואיד מרוכב מסודר לפי תדר. ה-DFT מתרגמת את הרצפים הללו למרחב התדר, ומספקת מידע על המשרעת והפאזה של כל רכיב תדר הקיים באות.

אחת התכונות המרכזיות של ה-DFT היא לינאריות. תכונה זו קובעת ש-DFT של סכום של רצפים שווה לסכום של ה-DFT של כל אחד מהרצפים הבודדים. תכונה חשובה נוספת היא היסט בזמן. כאשר רצף מוסט במרחב הזמן, ה-DFT שלו חווה היסט פאזה מתאים.

היסט בתדר במרחב הזמן גורם להסטת אינדקסים ב-DFT. אם רצף מוכפל באקספוננט מרוכב, ה-DFT שלו יוזז בהתאם במרחב התדר. תכונת היפוך בזמן, שהופכת את הרצף במרחב הזמן, משפיעה על הסימטריה של ה-DFT. כאשר רצף מתהפך, רכיבי ה-DFT מסודרים מחדש ועוברים צימוד מרוכב.

תכונת הצימוד המרוכב קובעת שאם רצף עובר צימוד מרוכב, רכיבי ה-DFT שלו עוברים גם הם צימוד מרוכב ומסודרים מחדש. משפט הקונבולוציה הוא כלי רב עוצמה, שכן הוא מפשט את תהליך הקונבולוציה במרחב הזמן לכפל פשוט במרחב התדר.

בשל אופיה המחזורי, ה-DFT נמצאת בשימוש נרחב ביישומים של עיבוד אותות למעבר בין מרחב הזמן למרחב התדר. המחזוריות נובעת מתהליך הדגימה הטבוע ב-DFT, מה שהופך אותה לכלי גמיש לניתוח ותפעול אותות. היכולת לפשט פעולות מורכבות ולספק תובנות ברורות על רכיבי התדר של אות מדגישה את חשיבות ה-DFT במגוון משימות עיבוד אותות.