17.9 : Dyskretna transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera (DFT) jest podstawowym narzędziem w przetwarzaniu sygnałów, rozszerzającym dyskretną transformatę Fouriera w czasie poprzez ocenę dyskretnych sygnałów w równomiernie rozmieszczonych odstępach częstotliwości. Ta transformacja przekształca skończony ciąg próbek w dziedzinie czasu na składowe częstotliwości, z których każda reprezentuje złożone sinusoidy uporządkowane według częstotliwości. DFT tłumaczy te sekwencje na dziedzinę częstotliwości, skutecznie wskazując wielkość i fazę każdego składnika częstotliwości obecnego w sygnale.

Jedną z kluczowych właściwości DFT jest jej liniowość. Ta właściwość oznacza, że ​​DFT sumy sekwencji jest równa sumie ich indywidualnych DFT. Inną ważną właściwością jest przesunięcie w czasie. Gdy sekwencja jest przesunięta w dziedzinie czasu, jej DFT ulega odpowiadającemu przesunięciu fazy.

Przesunięcie częstotliwości w dziedzinie czasu powoduje przesunięcie indeksów DFT. Jeśli sekwencja jest mnożona przez zespoloną wykładniczą, jej DFT jest odpowiednio przesunięta w dziedzinie częstotliwości. Odwrócenie czasu, które odwraca sekwencję w dziedzinie czasu, wpływa na symetrię DFT. Jeśli sekwencja jest odwrócona, składowe DFT są ponownie uporządkowane i sprzężone.

Własność sprzężenia mówi, że jeśli sekwencja jest sprzężona, składowe DFT są również sprzężone i ponownie uporządkowane. Twierdzenie splotu jest szczególnie ważne, ponieważ upraszcza proces splotu w dziedzinie czasu do prostego mnożenia w dziedzinie częstotliwości.

Ze względu na swoją okresową naturę, DFT jest szeroko stosowane w aplikacjach przetwarzania sygnałów do przechodzenia między domenami czasu i częstotliwości. Ta okresowość wynika z inherentnego procesu próbkowania w DFT, co czyni ją wszechstronnym narzędziem do analizy i manipulowania sygnałami. Możliwość uproszczenia złożonych operacji i zapewnienia jasnego wglądu w składowe częstotliwości sygnału podkreśla znaczenie DFT w różnych zadaniach przetwarzania sygnałów.