La transformée de Fourier discrète (DFT) est un outil fondamental dans le traitement du signal, qui permet d’étendre la transformée de Fourier à temps discret en évaluant des signaux discrets à des intervalles de fréquence uniformément espacés. Cette transformation convertit une séquence finie d'échantillons du domaine temporel en composantes de fréquence, chacune représentant des sinusoïdes complexes ordonnées par fréquence. La DFT traduit ces séquences dans le domaine fréquentiel, indiquant efficacement l'amplitude et la phase de chaque composante de fréquence présente dans le signal.

L'une des propriétés clés de la DFT est sa linéarité. Cette propriété implique que la DFT d'une somme de séquences est égale à la somme de leurs DFT individuelles. Une autre propriété importante est le décalage temporel. Lorsqu'une séquence est décalée dans le domaine temporel, sa DFT subit un déphasage correspondant.

Le décalage de fréquence dans le domaine temporel entraîne un décalage des indices de la DFT. Si une séquence est multipliée par une exponentielle complexe, sa DFT est décalée en conséquence dans le domaine fréquentiel. L'inversion temporelle, qui inverse la séquence dans le domaine temporel, affecte la symétrie de la DFT. Si une séquence est inversée, les composantes de la DFT sont réorganisées et conjuguées.

La propriété de conjugaison stipule que si une séquence est conjuguée, les composantes de la DFT sont également conjuguées et réorganisées. Le théorème de convolution est particulièrement puissant, car il simplifie le processus de convolution dans le domaine temporel en une simple multiplication dans le domaine fréquentiel.

En raison de sa nature périodique, la DFT est largement utilisée dans les applications de traitement du signal pour effectuer la transition entre les domaines temporel et fréquentiel. Cette périodicité découle du processus d'échantillonnage inhérent à la DFT, ce qui en fait un outil polyvalent pour l'analyse et la manipulation des signaux. La capacité à simplifier les opérations complexes et à fournir des informations claires sur les composantes fréquentielles d'un signal souligne l'importance de la DFT dans diverses tâches de traitement du signal.