17.9 : Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü(DFT), sinyal işlemede temel bir araçtır ve ayrık sinyalleri eşit boşluklu frekans aralıklarında değerlendirerek ayrık zamanlı Fourier dönüşümünü genişletir. Bu dönüşüm, zaman-domainindeki örneklerin sonlu bir dizisini, her biri frekansa göre sıralanmış karmaşık sinüzoidleri temsil eden frekans bileşenlerine dönüştürür. DFT, bu dizileri frekans-domaine çevirerek sinyalde bulunan her bir frekans bileşeninin büyüklüğünü ve fazını etkili bir şekilde belirtir.

DFT'nin temel özelliklerinden biri doğrusallığıdır. Bu özellik, bir dizi toplamının DFT'sinin, bireysel DFT'lerinin toplamına eşit olduğu anlamına gelir. Bir diğer önemli özellik ise zaman kaydırmadır. Bir dizi zaman-domainde kaydırıldığında, DFT'si buna karşılık gelen bir faz kaymasına uğrar.

Zaman-domaindeki frekans kaydırma, DFT'nin endekslerinin kaymasına neden olur. Bir dizi, karmaşık bir üstel ile çarpılırsa, DFT'si frekans-domaininde buna göre kaydırılır. Zaman-domainindeki diziyi tersine çeviren ters zamanlama, DFT'nin simetrisini etkiler. Bir dizi tersine çevrilirse, DFT bileşenleri yeniden düzenlenir ve eşlenikleri alınır.

Eşlenik özelliği, bir dizinin eşleniği alınırsa DFT bileşenlerinin de eşleniğinin alınacağını ve yeniden düzenlendiğini belirtir. Evrişim teoremi, zaman-domainindeki evrişim sürecini frekans-domainindeki basit çarpmaya inidrgediğinden özellikle önemlidir.

Periyodik yapısı nedeniyle, DFT zaman ve frekans alanları arasında geçiş yapmak için sinyal işleme uygulamalarında yaygın olarak kullanılır. Bu periyodiklik, DFT'deki doğal örnekleme sürecinden kaynaklanır ve onu sinyalleri analiz edip işlemek için çok yönlü bir araç haline getirir. Karmaşık işlemleri basitleştirme ve bir sinyalin frekans bileşenlerine ilişkin net bilgiler sağlama yeteneği, DFT'nin çeşitli sinyal işleme görevlerindeki önemini vurgular.