Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist ein grundlegendes Werkzeug in der Signalverarbeitung. Sie erweitert die zeitdiskrete Fourier-Transformation, indem sie diskrete Signale in gleichmäßig verteilten Frequenzintervallen auswertet. Diese Transformation wandelt eine endliche Folge von Zeitbereichsproben in Frequenzkomponenten um, die jeweils komplexe, nach Frequenz geordnete Sinuskurven darstellen. Die DFT übersetzt diese Folgen in den Frequenzbereich und zeigt so effektiv die Größe und Phase jeder im Signal vorhandenen Frequenzkomponente an.

Eine der wichtigsten Eigenschaften der DFT ist ihre Linearität. Diese Eigenschaft impliziert, dass die DFT einer Summe von Folgen gleich der Summe ihrer einzelnen DFTs ist. Eine weitere wichtige Eigenschaft ist die Zeitverschiebung. Wenn eine Folge im Zeitbereich verschoben wird, erfährt ihre DFT eine entsprechende Phasenverschiebung.

Die Frequenzverschiebung im Zeitbereich führt zu einer Verschiebung der Indizes der DFT. Wenn eine Folge mit einer komplexen Exponentialfunktion multipliziert wird, wird ihre DFT entsprechend im Frequenzbereich verschoben. Die Zeitumkehr, die die Sequenz im Zeitbereich umkehrt, beeinflusst die Symmetrie der DFT. Wenn eine Sequenz umgekehrt wird, werden die DFT-Komponenten neu geordnet und konjugiert.

Die Konjugation besagt, dass, wenn eine Sequenz konjugiert wird, auch die DFT-Komponenten konjugiert und neu geordnet werden. Der Faltungssatz ist besonders leistungsfähig, da er den Prozess der Faltung im Zeitbereich zu einer einfachen Multiplikation im Frequenzbereich vereinfacht.

Aufgrund ihrer periodischen Natur wird die DFT in Signalverarbeitungsanwendungen häufig zum Übergang zwischen Zeit- und Frequenzbereichen verwendet. Diese Periodizität ergibt sich aus dem inhärenten Abtastprozess der DFT, was sie zu einem vielseitigen Werkzeug zum Analysieren und Handhaben von Signalen macht. Die Fähigkeit, komplexe Operationen zu vereinfachen und klare Einblicke in die Frequenzkomponenten eines Signals zu liefern, unterstreicht die Bedeutung der DFT bei verschiedenen Signalverarbeitungsaufgaben.