17.9 : Trasformata discreta di Fourier

La Trasformata discreta di Fourier (DFT) è uno strumento fondamentale nell'elaborazione del segnale, che estende la trasformata di Fourier a tempo discreto valutando i segnali discreti a intervalli di frequenza uniformemente distanziati. Questa trasformazione converte una sequenza finita di campioni del dominio del tempo in componenti di frequenza, ciascuna rappresentante sinusoidi complesse ordinate per frequenza. La DFT traduce queste sequenze nel dominio della frequenza, indicando in modo efficace l'ampiezza e la fase di ciascuna componente di frequenza presente nel segnale.

Una delle proprietà chiave della DFT è la sua linearità. Questa proprietà implica che la DFT di una somma di sequenze è uguale alla somma delle loro singole DFT. Un'altra proprietà importante è lo spostamento temporale. Quando una sequenza viene spostata nel dominio del tempo, la sua DFT subisce uno spostamento di fase corrispondente.

Lo spostamento di frequenza nel dominio del tempo determina lo spostamento degli indici della DFT. Se una sequenza viene moltiplicata per un esponenziale complesso, la sua DFT viene spostata di conseguenza nel dominio della frequenza. L'inversione temporale, che inverte la sequenza nel dominio del tempo, influisce sulla simmetria della DFT. Se una sequenza viene invertita, i componenti della DFT vengono riordinati e coniugati.

La proprietà di coniugazione afferma che se una sequenza viene coniugata, anche i componenti della DFT vengono coniugati e riordinati. Il teorema di convoluzione è particolarmente potente, perché semplifica il processo di convoluzione nel dominio del tempo in una semplice moltiplicazione nel dominio della frequenza.

Grazie alla sua natura periodica, la DFT è ampiamente usata nelle applicazioni di elaborazione del segnale per la transizione tra i domini del tempo e della frequenza. Questa periodicità deriva dal processo di campionamento intrinseco nella DFT, rendendola uno strumento versatile per l'analisi e la manipolazione dei segnali. La capacità di semplificare operazioni complesse e fornire chiare informazioni sui componenti di frequenza di un segnale sottolinea l'importanza della DFT in varie attività di elaborazione del segnale.