14.5 : Propiedades de convolución II

Las propiedades de convolución importantes incluyen las propiedades de ancho, área, diferenciación e integración.

La propiedad de ancho indica que si las duraciones de las señales de entrada son T_1 y T_2, entonces el ancho de la respuesta de salida es igual a la suma de ambas duraciones, independientemente de las formas de las dos funciones. Por ejemplo, la convolución de dos pulsos rectangulares con duraciones de 2 segundos y 1 segundo da como resultado una función con un ancho de 3 segundos.

La propiedad de área afirma que el área bajo la convolución de dos funciones es igual al producto de las áreas bajo cada función. Matemáticamente, si x(t) y ℎ(t) son dos funciones, entonces la expresión para la propiedad del área puede darse como,

La propiedad de diferenciación establece que la derivada de una convolución es igual a la convolución de la derivada de la señal de entrada y la respuesta al impulso, o viceversa. Esto puede expresarse como,

Combinando estas ecuaciones y generalizando para derivadas de orden superior se obtiene la relación de diferenciación general.

La propiedad de integración indica que la integral de una convolución produce la convolución de la respuesta al impulso y la integral de la señal de entrada, o viceversa. Esto se representa matemáticamente como:

Si se realiza una convolución con una función escalonada, el sistema LTI se comporta como un integrador ideal.

Estas propiedades (ancho, área, diferenciación e integración) son cruciales para simplificar y comprender las operaciones de convolución en sistemas LTI, lo que facilita el análisis y el diseño de tareas complejas de procesamiento de señales.