14.5 : Faltungseigenschaften II

Zu den wichtigen Faltungseigenschaften gehören Breite, Fläche, Differenzierung und Integrationseigenschaften.

Die Breiteneigenschaft gibt an, dass, wenn die Dauer der Eingangssignale T_1 und T_2 beträgt, die Breite der Ausgangsantwort der Summe beider Dauern entspricht, unabhängig von der Form der beiden Funktionen. Wenn beispielsweise zwei rechteckige Impulse mit einer Dauer von 2 Sekunden und 1 Sekunde gefaltet werden, ergibt sich eine Funktion mit einer Breite von 3 Sekunden.

Die Flächeneigenschaft besagt, dass die Fläche unter der Faltung zweier Funktionen dem Produkt der Flächen unter jeder Funktion entspricht. Mathematisch gesehen kann der Ausdruck für die Flächeneigenschaft wie folgt angegeben werden, wenn x(t) und ℎ(t) zwei Funktionen sind:

Die Differenzierungseigenschaft besagt, dass die Ableitung einer Faltung der Faltung der Ableitung und der Impulsantwort des Eingangssignals entspricht oder umgekehrt. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden:

Die Kombination dieser Gleichungen und die Verallgemeinerung für Ableitungen höherer Ordnung ergibt die allgemeine Differenzierungsrelation.

Die Integrationseigenschaft gibt an, dass das Integral einer Faltung die Faltung der Impulsantwort und das Integral des Eingangssignals ergibt oder umgekehrt. Dies wird mathematisch wie folgt dargestellt:

Wenn eine Faltung mit einer Sprungfunktion durchgeführt wird, verhält sich das LTI-System wie ein idealer Integrator.

Diese Eigenschaften – Breite, Fläche, Differenzierung und Integration – sind entscheidend für die Vereinfachung und das Verständnis der Faltungsoperationen in LTI-Systemen und erleichtern die Analyse und Gestaltung komplexer Signalverarbeitungsaufgaben.