14.5 : Propriétés de convolution - II

Les propriétés de convolution importantes sont la largeur, l'aire, la différentiation et l'intégration.

La propriété de largeur indique que si les durées des signaux d'entrée sont T_1 et T_2, alors la largeur de la réponse de sortie est égale à la somme des deux durées, quelle que soit la forme des deux fonctions. Par exemple, la convolution de deux impulsions rectangulaires d’une durée de 2 secondes et d’1 seconde donne une fonction d'une largeur de 3 secondes.

La propriété d'aire affirme que l'aire sous la convolution de deux fonctions est égale au produit des aires sous chaque fonction. Mathématiquement, si x(t) et h(t) sont deux fonctions, alors l'expression de la propriété d'aire peut être donnée comme suit :

La propriété de différentiation stipule que la dérivée d'une convolution est égale à la convolution de la dérivée du signal d’entrée et de la réponse impulsionnelle, ou vice versa. Cette propriété peut être exprimé comme suit :

En combinant ces équations et en généralisant pour les dérivées d'ordre supérieur, on obtient la relation de différentiation générale.

La propriété d'intégration indique que l'intégrale d'une convolution donne la convolution de la réponse impulsionnelle et l'intégrale du signal d'entrée, ou vice versa. Ceci est représenté mathématiquement comme suit :

Si une convolution est effectuée avec une fonction en escalier, le système LTI se comporte comme un intégrateur idéal.

Ces propriétés (largeur, surface, différentiation et intégration) sont essentielles pour simplifier et comprendre les opérations de convolution dans les systèmes LTI, ce qui facilite l'analyse et la conception de tâches complexes de traitement du signal.