14.5 : Właściwości splotu - II

Właściwości splotu obejmują szerokość, obszar, różniczkowanie i właściwości całkowania.

Właściwość szerokości wskazuje, że jeśli czasy trwania sygnałów wejściowych wynoszą T_1 i T_2, to szerokość odpowiedzi wyjściowej jest równa sumie obu czasów trwania, niezależnie od kształtów dwóch funkcji. Na przykład splot dwóch prostokątnych impulsów o czasie trwania 2 sekund i 1 sekundy daje funkcję o szerokości 3 sekund.

Właściwość obszaru potwierdza, że obszar pod splotem dwóch funkcji jest równy iloczynowi obszarów pod każdą funkcją. Matematycznie, jeśli x(t) i h(t) są dwiema funkcjami, to wyrażenie dla własności obszaru można podać jako,

Właściwość różniczkowania stwierdza, że pochodna splotu jest równa splotowi pochodnej sygnału wejściowego i odpowiedzi impulsowej lub odwrotnie. Można to wyrazić jako,

Połączenie tych równań i uogólnienie na pochodne wyższego rzędu daje ogólną relację różniczkowania.

Właściwość całkowania wskazuje, że całka splotu daje splot odpowiedzi impulsowej i całkę sygnału wejściowego lub odwrotnie. Matematycznie przedstawia się to następująco:

Jeśli splot jest wykonywany z funkcją skokową, system LTI zachowuje się jak idealny integrator.

Te właściwości — szerokość, obszar, różniczkowanie i całkowanie — są kluczowe dla uproszczenia i zrozumienia operacji na splotach w systemach LTI, ułatwiając analizę i projektowanie przetwarzania sygnałów.