13.4 : Signaux pairs et impairs

Un signal pair, qu'il soit à temps continu ou discret, est défini par sa symétrie avec sa version inversée dans le temps. Mathématiquement, cela se traduit par

pour les signaux à temps continu et

pour les signaux à temps discret. Les signaux pairs présentent une symétrie autour de l'axe vertical, ce qui signifie que le signal pour les valeurs de temps négatives reflète celui pour les valeurs de temps positives.

En revanche, un signal est dit impair s'il ne correspond pas à son homologue inversé dans le temps, représenté par

pour les signaux à temps continu et

pour les signaux à temps discret. Les signaux impairs sont caractérisés par leur nature antisymétrique autour de l'axe vertical.

Tout signal continu peut être exprimé comme une combinaison de composantes paires et impaires. Cette décomposition est donnée par :

Ici, le premier terme du côté droit est une fonction paire, tandis que le second terme est une fonction impaire.

Les signaux complexes peuvent également être décomposés en composantes paires et impaires à l'aide des symétries conjuguées. Le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire donne une fonction impaire. De plus, la multiplication de deux fonctions du même type, soit toutes deux paires, soit toutes deux impaires, donne une fonction paire.

De plus, les opérations algébriques d'addition et de soustraction suivent des règles spécifiques : l'addition ou la soustraction de deux fonctions paires donne une fonction paire, et l'addition ou la soustraction de deux fonctions impaires produit une fonction impaire. Ces propriétés sont fondamentales dans l'analyse des signaux, car elles permettent la décomposition et la simplification de signaux complexes en éléments facilement manipulables.